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导言： 在现实生活中，处处存在着各种各样的逻辑关系，比如，菜价x斤数=银子数，速度x时间=路程等等，这些关系如果被量化，大多数都是实数范围的，比如f(x)=2x+1.但是，同样存在着这样一些关系，他们在实数范围内表达出来是复杂的。或者，用这些关系构成一些方程，可能根本是不可解的，比如一个被广为流传的方程x^2+1=0,为了解决这些问题，复数被引入了人们的视线。
关于复数： 复数的文字资料最早出现在公元一世纪的希腊数学家海伦，但是直到18世纪末，复数才渐渐被人们所接受。在这之前，莱布尼兹在1702年曾经评价说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。这句话在一定程度上说明了“虚数”曾经给数学界带来的困惑，在现今的数学理论中，复数已然成为数论中的不可或缺的一部分。 复数是什么？ 引入复数的必要性最初是从解方程开始的，在实数范围内，我们经常会碰到方程无解的情况，在这种情况下，我们的先辈们引入了复数的概念。复数的定义是i^2=-1，这是。一个很棒的定义，至少这令我们的一元二次方程始终有解了。 举个例子：x^2=-1，其解为x=i或x=-i。让我们来验证一下： x^2 = (-i)^2=i^2=-1成立。 在时代的驱动下，复数就此诞生，复数的完整表达是z = a+bi，它是由一个有序二元实数对确定的一个数，为了真正的使用复数，我们必须对这种东西进行进一步的定义，由于复数的本质还是一种数，且是对实数的扩充，那么，我们不妨就借鉴于实数来定义它，从而，我们定义了复数的加法和乘法。 此处简化书写，由于复数只由一个有序二元实数对唯一确定，我们不妨记 z1 = (a, b), z2 =
(c, d)，其中(0, 1)= i 定义：z1 + z2 = (a + c, b + d) z1 x z2 = (ac - bd, ad + bc) 为什么这么定义？ 对于复数来说，如果我们将其当做一种完善的数来看待，那么，这种数的运算应当是封闭的，就像你不会希望你家养的鸡下出来的是鸭蛋一样。这种定义能够保证复数的运算不会使复数生出来意料之外的孩子。 其实，如果只将i看做一个字母，只不过这个字母被加上了平方结果为负一这一条性质。那么，这两条性质可以被很轻松的理解 z1 + z2 =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z1 + z2 =
(a + bi) x (c + di) = (ac + bdi^2) + (adi + bci) = (ac – bd) + (ad + bc)i 当然了，你可能发现了，如果(b + d) = 0 或者 (ad + bc) = 0，这个数不就变成了实数而不是复数？这样还符合复数不就是不封闭了？ 所以，大数学家们为了处理这种问题，添加了一个实数域到复数域的一个映射f(a) = (a, 0),这个映射保持了实数域的加法和乘法， 比如:f(a + b) = (a + b), 0), (a, 0) + (b, 0) = (a +
b,0) f(ac) = (ac, 0),
(a, 0) x(c, 0) = (ac, 0) 是不是没毛病呢？ 同样，我们可以解释i^2 = -1 这一事实，(0, 1) x (0, 1) = (-1, 0) =-1 事实上，我们可以证明，复数的全体（包括实数）构成复数域，而实数域是复数域的一个子域 那么，我们继续前进咯~~~~ 对z = a + bi 的简单解释： 在复数(complex number)对应的有序二元实数对(a,
b)中，实数a被称为复数z的实部(real part)，记为Rez = a，实数b被称为复数z的虚部(imaginary part), 记为 Imz = b. 当a = 0 且 b !=
0 时， z = bi，我们将这一类虚数称为纯虚数。 当a != 0 且 b =
0 时， z = a，虚数退化为实数。 对于一个复数z=a+bi, 图片：共轨复数.jpg  =a-bi称为它的共轨复数，可以发现,z图片：共轨复数.jpg =a^2+b^2 复数的集合用C表示，实数集合用R表示，则R是C的真子集 我们可以再考虑一件事情，复数既然是一种数，那么根据我们对实数等的理解，数应该是可以比较大小的啊，可是，这复数是用一个实数对表示的，我们虽然可以比较出任意一个实数与另一个实数的大小，可是这两个数作为一个整体该认为谁更大呢？这是一件让人纠结的事情，事实上，复数是不存在一般意义上的数的相对大小的。我们也不必要纠结于没法比较大小这件事，因为我们有类似的替代品。 复数的模： 将实数的实部与虚部的平方的正平方根的值称为该复数的模，记为|z|。 即对于复数z = a + bi，它的模 图片：复数的模.jpg  为什么这样定义？复数是没办法直接比较大小的，要实现类似于比较大小的功能，我们就要想办法将这两个实数并在一起，这是我们的目标，然而，为什么要取这个公式呢？可以联系平面直角坐标系上的距离定义，这里的模也就是复数在复平面上到原点的距离。 复平面是什么？ 我们知道，复数可以用一个有序二元实数对（a, b）表示，那么，我们或许可以在一个平面上刻画出这个复数所对应的点。事实上也确实定义了这样的一个平面称为复平面xOy，这个平面上x轴为实轴，y轴为虚轴，我们可以看见，x轴上是实数，y轴上（除原点）是纯虚数。当然，还可以刻画相应在相应的极坐标平面上 例：分别在直角坐标下和极坐标下表示复函数 y = t + itsin(t) 图片：直角坐标和极坐标画图.jpg 
咣当咣当咣当咣当……x10000，极坐标表示是什么鬼？ 为什么可以表示为极坐标？ 极坐标的表示方式就是“距离加角度”，在复数中，距离的问题可以解决（复数的模），那么我们要解决的问题就在于复数的角度。何一个实函数可以在直角坐标下表示成点的集合，表示是从x到y的一种特殊映射，同样的含有复数的函数也可以，任意在复平面（直角坐标形式）上取一点，这一点到原点的连线与实轴的正方向构成一个角
图片：c塔.jpg  ，这个角图片：c塔.jpg 称为复数的辐角，记为Arg(z),如果你比较细心，可能发现这个角不是一个定值，因为图片：c塔与2kpi.jpg  ,故，我们将做一个约定对于图片：c塔.jpg ，如果图片：c塔范围.jpg  ,那么将这个角度值称为辐角主值，记为arg(z),注意，在这里a为小写。复数的辐角： 复数的辐角的意义绝不仅仅在于让我们能够在复平面中表示复数值，它还可以用于来改变复数的表示方式，事实上，辐角的引入让我们复数有了另外两种表示方法。 表示方法一（三角函数法）: 图片：辐角01.jpg  这种方式下，图片：辐角02.jpg  即为该复数在极坐标复平面中的坐标，其中图片：辐角03.jpg  表示方法二（指数形式）: 图片：辐角04.jpg  ,这个公式看起来比较奇怪，这个公式看起来前后没有任何联系，容易让人表示不敢相信，但是，实际情况是，这两个公式确实是等价的,具体证明可以参考 欧拉公式的证明那么，直到现在，我们算是把复数是什么搞清楚了？？？但是，复数到底有什么用呢？O(∩_∩)O哈哈~，还早着呢，让我们想想，我们忘掉了一点什么？ 我们在上面曾提到过，复数是一种数，而且包含实数，那么，实数的那些性质在复数中到底是不是一样一样的呢？在上面的讨论中，我们只涉及到了复数的加法和乘法，那么，复数的减法，除法呢？复数的乘幂和方根呢？ 复数的运算性质： 加法法则：减法和加法类似，因此有复数的加法法则： 图片：运算性质01.jpg  乘法法则： 图片：运算性质02.jpg 
除法法则：分母有理化，在分母上乘上分母的共轨复数实现分母的有理化 图片：运算性质03.jpg 
乘方法则（棣莫佛定理）：对于复数 图片：运算性质04.jpg  ，可以很快得到z的n次幂图片：运算性质10.jpg 
特别的：对于i 图片：运算性质06.jpg 
图片：运算性质07.jpg  ，可以得到图片：运算性质08.jpg 
注意：如果 图片：运算性质09.jpg  则与前面的n的结果重复（复数基础介绍完毕哒~~~~） |
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罗恩格林
发布于2017-04-09 03:58
沙发F
复数在信号处理里极为重要
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Joelle
发布于2022-11-03 14:30
地板F
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